Линейное уравнение с двумя переменными и его график
| Нам часто встречались уравнения вида ax + b = 0, где a, b — числа, x —
переменная. Например, 5x - 8 = 0, x + 4 = 0, -7x - 11 = 0 и т. д. Числа
a, b (коэффициенты уравнения) могут быть любыми, исключается лишь
случай, когда a = 0. Уравнение ax + b = 0, где a ≠ 0, называют линейным уравнением с одной переменной x (или линейным уравнением с одним неизвестным x). Решить его, т. е. выразить x через a и b, мы с вами умеем: Из городов A и B, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов? Составим математическую модель задачи. Пусть x км/ч — скорость первого поезда, y км/ч — скорость второго поезда. Первый был в пути 5 ч и, значит, прошел путь 5x км. Второй поезд был в пути 3 ч, т.е. прошел путь Зy км. Их встреча произошла в пункте C. На рисунке 31 представлена геометрическая модель ситуации. На алгебраическом языке ее можно описать так:  Рис. 31 Вообще, Вернемся к уравнению 5x + 3y = 500. Замечаем, что если x = 40, y = 100, то 5 • 40 + 3 • 100 = 500 — верное равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть таким: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 100 км/ч. Пару чисел x = 40, y = 100 называют решением уравнения 5x + 3y = 500. Говорят также, что эта пара значений (x; y) удовлетворяет уравнению 5x + 3y = 500. К сожалению, это решение не единственно. В самом деле, возможен и такой вариант: x = 64, y = 60; действительно, 5 • 64 + 3 • 60 = 500 — верное равенство. И такой: x = 70, y = 50 (поскольку 5 • 70 + 3 • 50 = 500 — верное равенство). А вот, скажем, пара чисел x = 80, y = 60 решением уравнения не является, поскольку при этих значениях верного равенства не получается: 5 • 80 + 3 • 60 ≠ 500. Вообще, решением уравнения ax +by + c = 0 называют всякую пару чисел (x; y), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + c = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много. Замечание. Вернемся еще раз к уравнению 5x + Зy = 500, полученному в рассмотренной выше задаче. Среди бесконечного множества его решений имеются, например, и такие: x = 100, y = 0 (в самом деле, 5 • 100 + 3 • 0 = 500 — верное числовое равенство); x = 118, y = - 30 (так как 5 • 118 + 3 • (-30) = 500 — верное числовое равенство). Однако, являясь решениями уравнения, эти пары не могут служить решениями данной задачи, ведь скорость поезда не может быть равной нулю (тогда он не едет, а стоит на месте); тем более скорость поезда не может быть отрицательной (тогда он едет не навстречу другому поезду, как сказано в условии задачи, а в противоположную сторону). Пример 1. Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными x+ y - 3 = 0 точками в координатной плоскости xOy. Решение. Подберем несколько решений заданного уравнения, т. е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (-2; 5). Построим в координатной плоскости xOy точки A (3; 0), B (2; 1), C (1; 2), D (0; 3), E (-2; 5) (рис. 32). Обратите внимание: все эти пять точек лежат на одной прямой l, проведем ее.  Рис. 32 Итак, если пара чисел (х; у) удовлетворяет уравнению x + y - 3 = 0, то точка M (x; y) принадлежит прямой l; если точка M(x; y) принадлежит прямой l, то пара (x; y) — решение уравнения x + y - 3 = 0. Например, точка P (6; -3) принадлежит прямой l (рис. 32) и пара (6; -3) — решение уравнения x + y - 3 = 0. Подведем итоги:
Теорема 1. Графиком любого линейного уравнения ax + by + c = 0 является прямая. Доказать теорему нам с вами пока не под силу — это будет сделано позднее, в курсе геометрии. Но пользоваться теоремой мы, конечно, имеем право уже сейчас. Пример 2. Построить график уравнения 3x - 2y + 6 = 0. Решение. Подберем несколько решений заданного уравнения:  Рис. 33 2) (-2; 0); действительно, если x = - 2, y = 0, то 3 * (-2) - 2 * 0 + 6 = 0 — верное равенство; 3) (2; 6); если x = 2, y = 6, то 3 * 2 - 2 * 6 + 6 = 0 — верное равенство; 4) (4; 9); если x = 4, y = 9, то 3 * 4 - 2 * 9 + 6 = 0 — верное равенство. Построим точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6), (4; 9) на координатной плоскости xOy. Они лежат на одной прямой, проведем ее (рис. 33). Эта прямая и есть график уравнения 3x - 2y + 6 = 0. Пример решен, хотя и верно, но очень нерационально. Почему? Давайте рассуждать. 1. Мы знаем, что графиком линейного уравнения 3x - 2y + 6 = 0 является прямая (это утверждается в теореме). Чтобы провести прямую, достаточно указать две ее точки. Через две точки можно провести прямую и притом только одну — этому нас учит геометрия. Поэтому построенные выше четыре точки — это явный перебор. Достаточно было построить точки (0; 3) и (-2; 0) и с помощью линейки провести через них прямую. 2. Решения данного уравнения мы подбирали, т.е. угадывали. Угадать что-либо всегда труднее, чем действовать по определенному правилу. Нельзя ли было и здесь не угадывать, а действовать по какому-то правилу? Можно. Например, так. Дадим переменной x конкретное значение, например x = 0 (обычно пишут х1 = 0). Подставив это значение в уравнение 3x - 2у + 6 = 0, получим: 3 • 0 - 2y + 6 = 0, т.е. -2y + 6 = 0. Из этого уравнения находим: y = 3 (обычно пишут у1 = 3). Значит, если x = 0, то y = 3; пара (0; 3) — решение данного уравнения. Дадим переменной x еще одно конкретное значение, например x = -2 (обычно пишут x2 = -2). Подставив это значение в уравнение 3x - 2y + 6 = 0, получим: 3 • (-2) - 2y + 6 = 0, т. е. - 2y = 0. Из этого уравнения находим y = 0 (обычно пишут y2 = 0). Значит, если x = -2, то y = 0; пара (- 2; 0) — решение данного уравнения. Вот теперь мы в состоянии сформулировать алгоритм построения графика линейного уравнения ax + by + c = 0 (где, напомним, a, b, c — любые числа, но a ≠ 0, b ≠ 0). Алгоритм построения графика уравнения ax + by + c = 0
Пример 3. Построить график уравнения  Рис. 34 1) Положим x = 0, подставим это значение в уравнение 4x + 3y - 12 = 0, получим: 4) Проведем через точки (0; 4) и (3; 0) прямую. Это и есть искомый график (рис. 34). Пример 4. Иванов и Петров посадили на своих садовых участках яблони, причем Петров посадил яблонь в 2,5 раза больше, чем Иванов. На следующий год они увеличили число яблонь (подсадили новые саженцы), причем у Иванова стало яблонь в 3 раза больше, чем было, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В итоге у них вместе стало 16 яблонь. Сколько яблонь посадили Иванов и Петров в первый год? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть х — число яблонь, посаженных в первый год Ивановым, а y — число яблонь, посаженных в первый год Петровым. По условию задачи y = 2,5x. Здесь целесообразно умножить обе части уравнения на 2, получим: 2y = 5х. Это уравнение перепишем в виде:  Рис. 35 Интересующая нас пара чисел (x; y) должна удовлетворять и уравнению (1), и уравнению (2), т. е. интересующая нас точка (x; y) должна лежать как на прямой (1), так и на прямой (2). Что делать? Ответ очевиден: надо построить прямую (1), затем прямую (2) и, наконец, найти точку пересечения этих прямых. 1) строим график уравнения 5x - 2y = 0. Если x = 0, то y = 0; если x = 2, то y = 5. Проведем через точки (0; 0) и (2; 5) прямую l1 (рис. 35). 2) строим график уравнения 3x + 2y - 16 = 0. Если x = 0, то y = 8; если x = 2, то y = 5. Проведем через точки (0; 8) и (2; 5) прямую l2 (см. 35). 3) прямые l1 и l2 пересекаются в точке (2; 5), т. е. x = 2, y = 5. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Иванов и Петров, т. е. чему равны x и y? Ответ на этот вопрос уже получен: x = 2, y = 5. Ответ: в первый год Иванов посадил 2 яблони, а Петров — 5 яблонь. Как видите, не зря мы с вами учились строить графики линейных уравнений с двумя переменными. Это позволило нам от одной математической модели (алгебраической модели (3)) перейти к другой математической модели — геометрической (две прямые на координатной плоскости на рисунке 35), что и дало возможность довести решение до конца. | |||||||||
|
| |||||||||
| Просмотров: 13528 | Комментарии: 1 | | |||||||||
| Всего комментариев: 0 | |